“有限域……射影平面？”
简瑶看着草稿纸上那行字，感觉自己的大脑像是被格式化了一样，一片空白。
这两个词，她都听过。
有限域，是抽象代数里的概念，由少年才伽罗瓦在决斗前夜匆匆写下，开创了一个全新的数学纪元。
射影平面，则是射影几何的核心，研究的是图形在中心投影下保持不变的性质。
这两个东西，在各自的领域里都如雷贯耳。
但她活了十八年，读了无数数学专着，从未想过，有人会把这两个看似风马牛不相及的概念，和“拉姆齐数”这种组合图论里的怪物联系在一起。
这就像是有人告诉你，可以用唐诗宋词的平仄格律，去解决一道量子力学的薛定谔方程。
荒谬，离谱，甚至可以是疯狂！
“你的意思是……用代数和几何的方法，来构造一个图？”
简瑶的声音里充满了不确定，她感觉自己的世界观正在被某种更强大的东西撬动，摇摇欲坠。
“更准确地，”
许燃的笔尖，在“有限域”三个字上轻轻一点，发出清脆的“笃”声，“是用代数，去定义‘点’，用几何，去定义‘边’。”
他的话，在简瑶的脑海中轰然炸响。
她好像……抓住了一点什么。
那是一种直觉，一种才面对更高维度智慧时，下意识的战栗与共鸣。
“坐过来。”
许燃指了指自己身边的位置，那里刚好还有一个空位。
简瑶的脸颊微微一热。
她鬼使神差地，站起身，绕过桌子，真的坐到了他的旁边。
两人靠得很近，她甚至能闻到许燃身上那股淡淡的、好闻的肥皂味，混杂着旧书页的墨香。
这让她那颗因为数学而狂热的心，莫名地多了一丝慌乱。
“你看。”
许燃没有察觉到她的异样，他的全部心神，都沉浸在即将构建的数学世界里。他就是这个世界的创世神。
“我们首先，考虑一个最简单的有限域，GF(q)。”
他开始在纸上书写，字迹干净利落，“这里的q是一个素数的幂。
在这个域里，有q个元素，它们满足我们熟悉的加法和乘法交换律、结合律，构成一个完美的封闭世界。”
简瑶强迫自己静下心来，目光紧紧跟随着许燃的笔尖。
这些都是抽象代数的基础，她还勉强能跟上。
“现在，我们来定义一个三维向量空间V，这个空间建立在GF(q)之上。
空间里的每一个向量，都有三个分量(x， y， z)，而x， y， z都是GF(q)里的元素。”
许燃的笔速不快，但每个步骤都清晰无比，带着一种不容置疑的逻辑美福
“这个三维空间里，有多少个非零向量？”他突然停笔，侧头看着简瑶，像一个考较学生的老师。
简瑶心头一跳，几乎是脱口而出：“q的立方，再减去一个零向量，q3-1个。”
“很好。”
许燃赞许地点零头，这让简瑶心里竟升起一丝的喜悦。
“现在，关键的一步来了。
我们在这个空间里定义一个‘等价关系’。
如果两个向量v1和v2，存在一个GF(q)里的非零常数c，使得v1 = c * v2，我们就这两个向量是等价的。”
“这……”
简瑶的眼睛猛地一亮，呼吸都急促了，“这就是在定义‘方向’！
所有共线的非零向量，都被你归为了一类！”
“完全正确！”
许燃的眼神里，流露出一丝棋逢对手的欣赏，“而这些等价类的集合，就是我们所的‘射影平面’，记作pG(2，q)。”
他抬起头，看着简瑶那因为激动而微微泛红的脸颊，那双清冷的眸子此刻亮得惊人。
“现在，你告诉我，这个射影平面里，有多少个‘点’？”
这个问题，像一把火炬，彻底点燃了简瑶的思维。
她几乎不需要思考，逻辑链条在脑中自动生成、延伸、闭合！
“每个等价类里，都有q-1个互相成比例的非零向量。
所以，点的总数，就是(q3-1)除以(q-1)……等于q2+q+1！”
当简瑶自己推导出这个数字时，她感觉自己的每一个细胞都在战栗。
一种前所未有的，通透淋漓的快感，从尾椎骨直冲灵盖！
太美了！
太优雅了！
从冰冷的代数结构中，自然而然地生长出鲜活的几何对象。
这种感觉，简直比世界上任何东西都让她着迷！
她之前用计算机暴力求解的想法，在此刻的许燃面前，简直就像原始人挥舞着石斧，而对方，已经拿出了激光炮！
“我们有了‘点’。”
许燃的声音，像是有魔力一般，引导着她继续深入这个奇妙的新世界，“下一步，就是定义‘线’。
在射影平面中，‘线’就是通过原点的所有平面的集合。”
他没有让简瑶自己去算，而是直接在纸上写下了结论。
“可以证明，pG(2，q)中，同样有q2+q+1条线。
并且，它满足两个美妙到近乎神迹的性质。”
“第一，任意两条不同的线，恰好相交于一个点。”
“第二，任意两个不同的点，恰好确定一条线。”
“我的……”
简瑶失声惊呼，她下意识地捂住了嘴，难以置信地看着纸上的公理。
“这……这不就是我们初中学的几何公理吗？两点确定一条直线，两条直线相交于一点！”
只不过，在她们熟悉的欧几里得几何中，存在“平行线”。
而在这个由有限域构造出的奇妙射影平面里，任何两条线，都必有交点！
没有平行！
这是一个自洽的，完美的，没有遗憾的世界！
“没错。”
许燃的目光变得深邃，仿佛穿透了纸张，看到了宇宙的底层逻辑，“现在，最有趣的部分来了。”
他换了一支红色的笔，在那张草稿纸上，画下了一个巨大的圈，将刚刚推导出的所有内容，都圈在了里面。
“让我们来玩个游戏。假设，我们取q=5。”
“那么，我们就有了一个包含 52+5+1=31个点的射影平面pG(2，5)。”
“现在，我们来构造一个图G。这个图的‘顶点’，就是我们射影平面里的这31个‘点’。”
“那么，‘边’是什么呢？”
他看着简瑶，声音不大，却敲在简瑶的心上。
简瑶的心跳，在这一刻，快到了极致。
她的大脑飞速运转，无数灵感火花碰撞，最终汇成一道光。
她死死地盯着许燃的眼睛，一个疯狂而大胆的念头，冲口而出。
“‘边’……就是……如果两个顶点（点），在射影平面的一条‘线’上，它们之间……就没有边！
它们是‘不相邻’的！”
当她出这句话后，整个世界，仿佛都安静了。
只剩下两颗心剧烈跳动的声音。
许燃笑了。
简瑶第一次看到他笑得如此灿烂。
像一个找到了唯一知音的孤独旅人，像一个独步武林的剑客终于遇到了能看懂他剑谱的人。
笑容欣慰，欣赏，还有一丝终于不必再独自前行的轻松。
“恭喜你，简瑶同学。”
他轻声。
“你已经推开了，通往拉姆齐世界，那扇真正的大门。”
“用几何性质来定义图的‘非相邻关系’，这本身就是一种伟大的洞察力。”
简瑶的脸“唰”的一下全红了，从脸颊一直蔓延到耳根。
这句夸奖，比她从到大听过的所有赞美加起来，都更让她心神荡漾。
“不过，”
许燃话锋一转，“射影平面构造法，虽然优美，但对于R(5，5)这个问题，还不是最锋利的那把刀。”
“它更像是一个……开胃菜，让你理解这种‘代数构造图’的思想。”
“什么？”简瑶一愣，“这还只是开胃菜？”
她感觉自己的认知再一次被刷新了。
如此精妙绝伦的构造，居然只是前戏？
“嗯。”
许燃点零头，将那张写满射影平面理论的草稿纸推到一边，又抽出一张全新的。
“射影平面的构造，会产生一种强正则图，但它的参数不符合我们R(5，5)的要求。
我们需要一个更直接，更强大的工具。”
他的笔尖，在雪白的纸上，写下了几个新的字符。
图书馆里幽黄的灯光，将两饶身影拉得很长。
一张草稿纸，一支笔，两个少年。
没有一句关于风月的话，却构建起了一个比任何情话都更令人心动的，纯粹由逻辑与智慧构成的，璀璨的数学世界。
在外人看来，那张写满书的草稿纸，晦涩难懂。
但在简瑶的回忆里，那却是她这辈子见过的，最动饶情书！
喜欢镇国学神：从数学开始无敌请大家收藏：(m.aizhuixs.com)镇国学神：从数学开始无敌爱追小说网更新速度最快。